Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，原點為，橢圓的動弦過焦點且不垂直于坐標軸，弦的中點為，過且垂直于線段的直線交射線于點.

（Ⅰ）證明：點在定直線上；

（Ⅱ）當最大時，求的面積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析.( Ⅱ) .

【解析】

（I）求出橢圓 的右焦點F的坐標，設(shè)AB所在直線為： （k≠0），且A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立直線與橢圓的方程組，通過韋達定理，求出中點坐標，求出ON的方程，與FM所在的直線方程聯(lián)立，解得點M坐標即可求出M在定直線 上；（Ⅱ）由（I）可設(shè)點M的坐標為 ，且F（1，0），求出向量坐標，利用向量的數(shù)量積求出cos∠OMF取得最小值時，∠OMF最大，由此可得M的坐標及直線AB的方程，利用弦長公式和點到線的距離公式求解三角形的面積的即可．

（I）橢圓的右焦點的坐標為，

設(shè)所在直線為 ，且 ，

聯(lián)立，得，

其中，，點坐標為，

聯(lián)立得點坐標為，

所以點坐標滿足直線方程，故點在定直線上.

（Ⅱ）由（I）可設(shè)坐標為，，不妨取，

則，，

，當且僅當時等號成立，

因為在上為減函數(shù)，所以時，取到最大值.

由，得坐標為，，

直線方程，即，

，， ，

點到直線的距離，

所以的面積