Question

在△ABC中，cosB=

4

5

，b=6．
（1）當a=5時，求角A；
（2）當△ABC的面積為27時，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)cosB=

4

5

＞0得到B為銳角，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系算出sinB的值．再利用正弦定理，算出sinA再結(jié)合大邊對大角，可得角A的大��；
（2）△ABC的面積為27，根據(jù)正弦定理的面積公式可得ac=90，再用余弦定理可算出a²+c²=180．最后配方可得（a+c）²的值，從而得到a+c的值．

解答：解：（1）∵cosB=

4

5

＞0，∴B為銳角，且sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinA=

asinB

b

=

1

2

又∵a＜b，得角A＜B
∴A=

π

6

（舍

5π

6

）…（7分）
（2）∵△ABC的面積S=

1

2

acsinB，sinB=

3

5

，
∴

3

10

ac=27，即ac=90．
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
可得36=a2+c2-

8

5

ac=a2+c2-144，即a²+c²=180．
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=180+180=360，
所以，a+c=6

10

．…（15分）

點評：本題在△ABC中，已知兩邊和一邊的對角，求另一邊所對的角，再已知面積的情況下求邊a與c的和．著重考查了正余弦定理、三角形面積公式和同角三角函數(shù)關(guān)系等知識，屬于中檔題．