Question

如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，過EF任作一個平面α分別與直線BC，AD相交于點G，H，下列判斷中：
①對于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH；
②存在一個平面α₀，使得點G在線段BC上，點H在線段AD的延長線上；
③對于任意的平面α，都有直線GF，EH，BD相交于同一點或相互平行；
④對于任意的平面α，當G，H在線段BC，AD上時，幾何體AC-EGFH的體積是一個定值．
其中正確的個數(shù)是（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：作圖題,探究型,空間位置關(guān)系與距離

分析：①分別取AC、BD的中點J、I，利用線面平行的性質(zhì)可知AD與BC到平面IEJF的距離相等，從而可判斷①；
②，當點G在BC上移動時，點H在AD之間移動，可判斷②；
③，G、H分別為相應線段中點時，三線平行，若G、H不是相應線段中點時，三線相交于一點，可判斷③；
④，當H為D，G為C時，此時幾何體的體積為三棱錐A-CDE的體積，為該四面體體積的一半，結(jié)合①的結(jié)論，可判斷④．

解答： 解：對于①，分別取AC、BD的中點J、I，則BC∥平面MENF，AD∥平面IEJF，且AD與BC到平面IEJF的距離相等，因此對于任意的α，都有S_△EFG=S_△EFH，故①正確；

對于②，當點G與點B重合時，點H與點A重合，當點G與點C重合時，點H與點D重合，故當點G在BC上移動時，點H在AD之間移動，故不存在一個平面α₀，使得點G在線段BC上，點H在線段AD的延長線上，即②錯誤；
對于③，G、H分別為相應線段中點時，三線平行，若G、H不是相應線段中點時，三線相交于一點，即對于任意的平面α，都有直線GF，EH，BD相交于同一點或相互平行，③正確；
對于④，當H為D，G為C時，此時幾何體的體積為三棱錐A-CDE的體積，為該四面體體積的一半，

如圖，只需證V_C-EFG=V_D-EFH，由①知，只需證C、D到截面的距離相等，
∵F為CD的中點，
∴C、D到截面的距離相等，故幾何體AC-EGFH的體積是一個定值，即④正確；
綜上所述，正確的為①③④，有3個，
故選：B．

點評：本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查共面定理、三角形的中位線定理、考查作圖能力與分析、推理能力，空間想象能力，屬于難題．