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11.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線x2a2-y22=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)F2關(guān)于直線y=\frac{a}x的對稱點(diǎn)M也在雙曲線上,則該雙曲線的離心率為(  )
A.52B.2C.5D.2

分析 求出過焦點(diǎn)F2且垂直漸近線的直線方程,聯(lián)立漸近線方程,解方程組可得對稱中心的點(diǎn)的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo),代入雙曲線的方程結(jié)合a2+b2=c2,解出e即得.

解答 解:過焦點(diǎn)F2且垂直漸近線的直線方程為:y-0=-a(x-c),
聯(lián)立漸近線方程y=\frac{a}x與y-0=-a(x-c),
解之可得x=a2c,y=abc,
故對稱中心的點(diǎn)坐標(biāo)為(a2c,abc),
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2a2c-c,2abc),
將其代入雙曲線的方程可得2a2c22a2c2-4a2c2=1,結(jié)合a2+b2=c2,
化簡可得c2=5a2,故可得e=ca=5
故選:C.

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),涉及離心率的求解和對稱問題,考查運(yùn)算能力,屬中檔題.

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