已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的定點(diǎn)M(2,0)和定直線l:x=-
3
2
,動(dòng)點(diǎn)P在直線l上的射影為Q,且4(
PQ
+
PM
)•(
PQ
-
PM
)+2
PM
OM
=1

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)設(shè)A、B是軌跡C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),
MA
MB
,λ∈R,∠AOB=θ,請(qǐng)把△AOB的面積S表示為θ的函數(shù),并求此函數(shù)的定義域.
分析:(1)設(shè)P(x,y),根據(jù)4(
PQ
+
PM
)•(
PQ
-
PM
)+2
PM
OM
=1
,可得4
PQ
2
-4
PM
2
-4(x-2)=1

4(x+
3
2
)
2
-4[(x-2)2+y2]-4(x-2)=1
,化簡(jiǎn)可得y2=6x;
(2)由
FA
FB
知A、B、M共線,設(shè)AB的方程為x=my+2,與拋物線方程聯(lián)立消去x得y2-6my-12=0,從而可得△AOB的面積S表示為θ的函數(shù),利用S=
1
2
|OM||y1-y2|=|y1-y2|≥2
|y1y2|
=4
3
,可確定函數(shù)的定義域.
解答:解:(1)設(shè)P(x,y)
∵4(
PQ
+
PM
)•(
PQ
-
PM
)+2
PM
OM
=1

4
PQ
2
-4
PM
2
-4(x-2)=1

4(x+
3
2
)
2
-4[(x-2)2+y2]-4(x-2)=1

整理得y2=6x;
(2)由
FA
FB
知A、B、M共線,設(shè)AB的方程為x=my+2,
與拋物線方程聯(lián)立消去x得y2-6my-12=0,
y1y2=-12,x1x2=
(y1y2)2
36
=4,
OA
OB
=-8.
S=
1
2
|
OA
||
OB
|sinθ=
1
2
×
OA
OB
tanθ
=-4tanθ.
因?yàn)镾=
1
2
|OM||y1-y2|=|y1-y2|≥2
|y1y2|
=4
3
,
所以-4tanθ≥4
3
,
即tanθ≤-
3
,解得
π
2
<θ<
3
點(diǎn)評(píng):本題以向量條件為載體,考查拋物線的方程,考查三角形面積的計(jì)算,正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組
0≤x≤
2
y≤2
x≤
2
y
給定,若M(x,y)為D上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(
2
,1)
,
(1)求區(qū)域D的面積
(2)設(shè)z=
2
x+y
,求z的取值范圍;
(3)若M(x,y)為D上的動(dòng)點(diǎn),試求(x-1)2+y2的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面直角坐標(biāo)系中,A(cosx,sinx),B(1,1),
OA
+
OB
=
OC
,f(x)=|
OC
|2
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和對(duì)稱中心;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面直角坐標(biāo)系中,角α的始邊與x正半軸重合,終邊與單位圓(圓心是原點(diǎn),半徑為1的圓)交于點(diǎn)P.若角α在第
一象限,且tanα=
4
3
.將角α終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
3
大小的角后與單位圓交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•宜賓二模)已知平面直角坐標(biāo)系xoy上的區(qū)域D由不等式組
x+y≥2
x≤1
y≤2
給定,若M(x,y)為D上的動(dòng)點(diǎn),A的坐標(biāo)為(-1,1),則
OA
OM
的取值范圍是
[0,2]
[0,2]

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