Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （m，n∈R）在x=1處取得極值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）k為何值時，方程f（x）﹣k=0只有1個根
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x2﹣2ax+a，若對于任意x1∈R，總存在x2∈[﹣1，0]，使得g（x2）≤f（x1），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數(shù)f（1）= ．

所以m=2+2n，f（x）= ，

又f（x）在x=1處取得極值，

f = ，

f ，n=1，則m=4，

經(jīng)檢驗滿足題意，

所以 ；

（2）解：由f（x）﹣k=0，得k=f（x），

由（1）得f ，

令f′（x）=0，得x=±1．

當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以f（x）在x=﹣1處取得極小值﹣2，在x=1處取得極大值2

又 如圖

所以k=±2或0時，方程有一個根

（3）解：對于任意x1∈R，總存在x2∈[﹣1，0]，使得g（x2）≤f（x1），

只需g（x2）min≤f（x1）min，

即當(dāng)x∈[﹣1，0]時，x2﹣2ax+a≤﹣2恒成立

只需 ，

解得a≤﹣2

a的取值范圍為a≤﹣2

【解析】（1）函數(shù)f（1）= ．所以m=2+2n，f（x）= ，又f（x）在x=1處取得極值，f ，n=1，則m=4（2）由f（x）﹣k=0，得k=f（x），由（1）得f ，令f′（x）=0，得x=±1．求出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)圖象即可求解．（3）對于任意x1∈R，總存在x2∈[﹣1，0]，使得g（x2）≤f（x1），只需g（x2）min≤f（x1）min，即當(dāng)x∈[﹣1，0]時，x2﹣2ax+a≤﹣2恒成立，只需 ，解得a．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．