Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x2lnx．

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）設(shè)h（x）＝（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）min＞h（x）max，從而證明結(jié)論．

（1）f′（x）＝x（2lnx+1），

令f′（x）＝0，解得：x＝，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；

（2）證明：由（1）知當(dāng)x＝時(shí)，f（x）的最小值是﹣，

設(shè)h（x）＝﹣（x＞0），則h′（x）＝﹣，

h（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，

故h（x）max＝h（2）＝﹣，

∵﹣﹣（﹣）＝＞0，

∴f（x）min＞h（x）max，

故lnx＞﹣．