Question

12．已知：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，CA=CB，D是AB的中點(diǎn)，E是B₁C₁中點(diǎn)
（1）求證：平面A₁DC⊥平面ABB₁A₁
（2）在線段BB₁上是否存在一點(diǎn)F，使EF∥平面A₁DC，若存在，說(shuō)出F點(diǎn)的位置，并給出證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出CD⊥AB，AA₁⊥CD，從而CD⊥平面ABB₁A₁，由此能證明平面A₁DC⊥平面ABB₁A₁．
（2）取A₁B₁中點(diǎn)G，以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DA為y軸，DG為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)F為BB₁中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面A₁DC．

解答 證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，
CA=CB，D是AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，AA₁⊥CD，
∵AB∩AA₁=A，∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵CD?平面A₁A₁DC，∴平面A₁DC⊥平面ABB₁A₁．
（2）在線段BB₁上存在一點(diǎn)F，使EF∥平面A₁DC．
證明如下：
取A₁B₁中點(diǎn)G，以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DA為y軸，DG為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)CA=CB=2，DG=a，設(shè)線段BB₁上是一點(diǎn)F（0，0，t），0≤t≤a，使EF∥平面A₁DC，
A₁（0，$\sqrt{2}$，a），D（0，0，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a），
$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{3}，0，0$），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，$\sqrt{2}$，a），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$，t-a），
設(shè)平面DCA₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=\sqrt{2}y+az=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-$\frac{\sqrt{2}}{a}$），
∵EF∥平面A₁DC，∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{a}t+\sqrt{2}$=0，
解得t=$\frac{1}{2}a$，
∴當(dāng)F為BB₁中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面A₁DC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查滿(mǎn)足線面平行的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．