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12.已知:三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,CA=CB,D是AB的中點(diǎn),E是B1C1中點(diǎn)
(1)求證:平面A1DC⊥平面ABB1A1
(2)在線段BB1上是否存在一點(diǎn)F,使EF∥平面A1DC,若存在,說(shuō)出F點(diǎn)的位置,并給出證明,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)由已知推導(dǎo)出CD⊥AB,AA1⊥CD,從而CD⊥平面ABB1A1,由此能證明平面A1DC⊥平面ABB1A1
(2)取A1B1中點(diǎn)G,以D為原點(diǎn),DC為x軸,DA為y軸,DG為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出當(dāng)F為BB1中點(diǎn)時(shí),EF∥平面A1DC.

解答 證明:(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,
CA=CB,D是AB的中點(diǎn),
∴CD⊥AB,AA1⊥CD,
∵AB∩AA1=A,∴CD⊥平面ABB1A1,
∵CD?平面A1A1DC,∴平面A1DC⊥平面ABB1A1
(2)在線段BB1上存在一點(diǎn)F,使EF∥平面A1DC.
證明如下:
取A1B1中點(diǎn)G,以D為原點(diǎn),DC為x軸,DA為y軸,DG為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)CA=CB=2,DG=a,設(shè)線段BB1上是一點(diǎn)F(0,0,t),0≤t≤a,使EF∥平面A1DC,
A1(0,2,a),D(0,0,0),C(3,0,0),E(32,-22,a),
DC=(300),DA1=(0,2,a),EF=(3222,t-a),
設(shè)平面DCA1的法向量n=(x,y,z),
{nDC=3x=0nDA1=2y+az=0,取y=1,得n=(0,1,-2a),
∵EF∥平面A1DC,∴EFn=-22-2at+2=0,
解得t=12a
∴當(dāng)F為BB1中點(diǎn)時(shí),EF∥平面A1DC.

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明,考查滿(mǎn)足線面平行的點(diǎn)是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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