Question

若在區(qū)間[-1，6]上等可能的任取一實(shí)數(shù)a，則使得函數(shù)f（x）=x³-3x-a有三個(gè)相異的零點(diǎn)的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：構(gòu)造g（x）=x³-3x，k（x）=a，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷出極值，根據(jù)圖象求解出a的范圍：-2＜a＜2，再根據(jù)題意得出-1≤a≤2，區(qū)間長(zhǎng)度為3，即可運(yùn)用幾何概率求解．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x³-3x-a，
構(gòu)造g（x）=x³-3x，
k（x）=a，
f′（x）=3x²-3，
∴f′（x）=3x²-3=0，x=±1，
f′（x）=3x²-3＞0，x＞1，x＜-1，
f′（x）=3x²-3＜0，-1＜x＜1，
∴f（x）在（-1，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）（-∞，-1）單調(diào)遞增，
∴f（x）_極大值=f（-1）=2，
f（x）_極小值=f（2）=-2
∴g（x）=x³-3x，k（x）=a，有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的范圍：-2＜a＜2，
∵在區(qū)間[-1，6]上等可能的任取一實(shí)數(shù)a
∴-1≤a≤2，區(qū)間長(zhǎng)度為3，
∴使得函數(shù)f（x）=x³-3x-a有三個(gè)相異的零點(diǎn)的概率為

3

7

故答案為：

3

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷極值，確定交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的變量范圍，再運(yùn)用結(jié)合概率求解，屬于綜合題，難度較大．