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19.已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)(a∈R),g(x)=f′(x).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線3x-y-1=0平行,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)F(x)=g(x)+12x2有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求證:f(x2)-1<f(x1

分析 (1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率,解a;
(2)利用極值點(diǎn)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求出a的范圍,進(jìn)一步求出f(x)的解析式,通過(guò)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性以及最值.

解答 解:(1)∵f′(x)=ln x-2ax+1,∴f′(1)=1-2a
因?yàn)?x-y-1=0的斜率為3.依題意,得1-2a=3;則a=-1.…(4分)
(2)證明:因?yàn)镕(x)=g(x)+12x2=ln x-2ax+1+12x2,
所以F′(x)=1x-2a+x=x22ax+1x(x>0),函數(shù)F(x)=g(x)+12x2有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2
且x1<x2,即h(x)=x2-2ax+1在(0,+∞)上有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1,x2
∵x1x2=1>0,
{△=4a240x1+x2=2a0
∴a>1.…(6分)
當(dāng)0<x<x1或x>x2時(shí),h(x)>0,F(xiàn)′(x)>0.當(dāng)x1<x<x2時(shí),h(x)<0,F(xiàn)′(x)<0.
所以F(x)在(0,x1)與(x2,+∞)上是增函數(shù),在區(qū)間(x1,x2)上是減函數(shù).
因?yàn)閔(1)=2-2a<0,所以0<x1<1<a<x2,令x2-2ax+1=0,得a=x2+12x,
∴f(x)=x(ln x-ax)=xln x-12x3-12x,則f′(x)=ln x-32x2+12,
設(shè)s(x)=ln x-32x2+12,s′(x)=1x-3x=13x2x,…(8分)
①當(dāng)x>1時(shí),s′(x)<0,s(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,從而函數(shù)s(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞減,
∴s(x)<s(a)<s(1)=-1<0,即f′(x)<0,所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.
故f(x)<f(1)=-1<0.又1<a<x2,因此f(x2)<-1.…(10分)
②當(dāng)0<x<1時(shí),由s′(x)=13x2x>0,得0<x<33
由s′(x)=13x2x<0,得33<x<1,所以s(x)在[0,33]上單調(diào)遞增,s(x)在[33,1]上單調(diào)遞減,
∴s(x)≤smax=ln33<0,∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
∴f(x)>f(1)=-1,∵x1∈(0,1),
從而有f(x1)>-1.
綜上可知:f(x2)<-1<f(x1).…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值;考查了討論的數(shù)學(xué)思想,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.如圖,斜三棱柱ABC-A1B1C1,面AA1B1B⊥面ABC,且∠A1AB=60°,AA1=2,△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,G為△ABC的重心,取BC中點(diǎn)F,連接B1F與BC1交于E點(diǎn):
(1)求證:GE∥面AA1B1B;  
(2)求三棱錐B-B1EA的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.函數(shù)f(x)=exlnx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是( �。�
A.y=2e(x-1)B.y=ex-1C.y=e(x-1)D.y=x-e

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7.我們知道:正三角形的中心到三個(gè)頂點(diǎn)距離都相等,設(shè)為d;到三條邊距離也相等,設(shè)為r,則\fraceqkua40r=2;類比到空間:正四面體也有中心,到四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等且為d;到四個(gè)面距離也相等且為r,則\frack6w6ckkr=( �。�
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

14.下列命題中正確的是( �。�
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.兩條相交直線的投影可能平行
D.一條線段中點(diǎn)的平行投影仍是這條線段投影的中點(diǎn)

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4.[B]在幾何中可以類比平面幾何的結(jié)論推理空間幾何的結(jié)論,如平面內(nèi)的三點(diǎn)共線類比空間中的四點(diǎn)共面.
(1)已知點(diǎn)A,B,C是平面內(nèi)三點(diǎn),若存在實(shí)數(shù)λ,使得AB=λ\overrightarrow{AC}成立,則點(diǎn)A,B,C共線.類比上述結(jié)論,寫(xiě)出空間中四點(diǎn)共面的結(jié)論;
(2)已知(1)結(jié)論的逆命題正確,請(qǐng)利用其解決以下問(wèn)題:已知點(diǎn)A,B,C,D是空間中共面的四點(diǎn),|\overrightarrow{AB}|=2,|\overrightarrow{AC}|=1,∠BAC=90°,AD是△ABC的高,試用\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}表示\overrightarrow{AD}

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11.在平面幾何中,已知三角形ABC的面積為S,周長(zhǎng)為L(zhǎng),求三角形內(nèi)切圓半徑時(shí),可用如下方法,設(shè)圓O為內(nèi)切圓圓心,則S=S△OAB+S△OBC+S△OAC=\frac{1}{2}r|AB|+\frac{1}{2}r|BC|+\frac{1}{2}r|AC|=\frac{1}{2}rL,∴r=\frac{2S}{L}
類比此類方法,已知三棱錐的體積為V,表面積為S,各棱長(zhǎng)之和為L(zhǎng),則內(nèi)切球半徑r為( �。�
A.\frac{2V}{S}B.\frac{2V}{L}C.\frac{3V}{S}D.\frac{3V}{L}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

8.已知函數(shù)f(x)=lnx+\frac{1}{x}+ax-1(a∈R)
(Ⅰ)當(dāng)a≥0時(shí),試討論f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)求證:ln(n+1)>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n+1}(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位:百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng):
X24568
y3040605070
(1)求回歸直線方程.
(2)回歸直線必經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)是哪一點(diǎn)?

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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