Question

17．如圖，$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為30°，|$\overrightarrow{AC}$|=2，|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$，求$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$的夾角．

Answer 1

分析 由條件利用正弦定理求得B的值，再利用兩個向量的夾角的定義求得$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$的夾角．

解答 解：如圖，$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為30°，AC=|$\overrightarrow{AC}$|=2，BC=|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$，
則由正弦定理可得$\frac{2}{sinB}$=$\frac{\sqrt{2}}{sin30°}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結(jié)合圖象可得B=45°，
∴$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$的夾角為45°．

點評 本題主要考查正弦定理，兩個向量的夾角的定義，屬于中檔題．