Question

（本小題滿分14分）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．

已知函數(shù)；

（1）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍

 

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）當時，在上遞減，所以，即在的值域為,故不存在常數(shù)，使成立, 函數(shù)在上不是有界函數(shù)。

（2）由題意知，|f（x）|≤3在上恒成立，即在上恒成立,再利用單調性求出，，從而得到a的范圍．

試題解析：（1）當時，,∵在上遞減，所以，即在的值域為,故不存在常數(shù)，使成立,所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)．

（2）由題意，在上恒成立。,, 在上恒成立,

設，，，由得 t≥1，設，

,,

所以在上遞減，在上遞增,

在上的最大值為,在上的最小值為,

所以實數(shù)的取值范圍為．

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；函數(shù)的值域．