Question

4．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜a＜b）的右支上存在一點，它到右焦點及到直線x=-$\frac{a^2}{c}，（{{c^2}={a^2}+{b^2}}）$的距離相等，則離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． $（{1，\sqrt{2}}）$
• B． $（{1，\sqrt{2}+1}]$
• C． $（{\sqrt{2}，\sqrt{2}+1}]$
• D． $[{\sqrt{2}+1，+∞}）$

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得 PF′-PF=2a，以及雙曲線的第二定義得PF=$\frac{2a}{e-1}$=$\frac{2{a}^{2}}{c-a}$≥c-a，建立a，c的關系進行求解即可．

解答 解：設雙曲線的右焦點F （c，0），左焦點F′（-c，0 ），
由雙曲線的定義可得 PF′-PF=2a，以及圓錐曲線的第二定義得 $\frac{PF′}{PF}$=e，
∴ePF-PF=2a，
∴PF=$\frac{2a}{e-1}$=$\frac{2{a}^{2}}{c-a}$≥c-a，
∴$\frac{c}{a}$≤$\sqrt{2}$+1．
再由 e＞1，∴1＜e≤$\sqrt{2}$+1，
故選  B．

點評 本題考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，利用雙曲線的第二定義是解決本題的關鍵．綜合性較強．