Question

6．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點P（a_n，a_n+1）在一次函數(shù)y=x+1的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n•xⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由點P（a_n，a_n+1）在一次函數(shù)y=x+1的圖象上，可得a_n+1=a_n+1，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）對x分類討論，利用“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵點P（a_n，a_n+1）在一次函數(shù)y=x+1的圖象上，
∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差與首項都為1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=a_n•xⁿ=nxⁿ，
當(dāng)x=0時，b_n=0，則數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=0．
當(dāng)x=1時，b_n=n，則數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
當(dāng)x≠0，1時，b_n=nxⁿ，
則數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=x+2x²+…+nxⁿ，
xT_n=x²+2x³+…+（n-1）xⁿ+nxⁿ⁺¹，
∴（1-x）T_n=x+x²+…+xⁿ-nxⁿ⁺¹=$\frac{x（1-{x}^{n}）}{1-x}$-nxⁿ⁺¹=$\frac{x-（1+n-nx）{x}^{n+1}}{1-x}$，
∴T_n=$\frac{x-（1+n-nx）{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+1）}{2}，x=1}\\{\frac{x-（1+n-nx）{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}，x≠1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．