Question

已知點(diǎn)P（3，4）和圓C：（x-2）²+y²=4，A，B是圓C上兩個(gè)動點(diǎn)，且|AB|=2

3

，則

OP

•（

OA

+

OB

）（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是（　�。�

• A、[3，9]
• B、[1，11]
• C、[6，18]
• D、[2，22]

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，可得

3

=|CD|，即點(diǎn)D在圓：（x-2）²+y²=1上，可設(shè)點(diǎn)D（2+cosα，sinα），
求得

OP

•（

OA

+

OB

）=

OP

•2

OD

=12+10sin（α+θ），可得

OP

•（

OA

+

OB

）的范圍．

解答： 解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，∵|AB|=2

3

，∴|AD|=

3

，
則|CD|=1，即D的軌跡以C為圓心半徑為1的圓，
即點(diǎn)D在圓（x-2）²+y²=1上，可設(shè)點(diǎn)D（2+cosα，sinα），
則

OP

•（

OA

+

OB

）=

OP

•2

OD

=（6，8）•（2+cosα，sinα）=12+6cosα+8sinα
=12+10sin（α+θ），其中，sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

，
∴

OP

•（

OA

+

OB

）的最小值為12-10=2，最大值為12+10=22，
∴

OP

•（

OA

+

OB

）的范圍是[2，22]．
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，輔助角公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．