選考題:從以下3題中選擇2題做答,每題7分,若3題全做,則按前2題給分。
(1)(選修4—2 矩陣與變換)(本題滿分7分)
變換是將平面上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘2,縱坐標(biāo)乘4,變到點(diǎn)。
(Ⅰ)求變換的矩陣;
(Ⅱ)圓在變換的作用下變成了什么圖形?
(2)(選修4—4 參數(shù)方程與極坐標(biāo))(本題滿分7分)
在極坐標(biāo)系下,已知圓O:和直線,
(Ⅰ)求圓O和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,求直線與圓O公共點(diǎn)的一個極坐標(biāo).
(3)(選修4—5 不等式證明選講)(本題滿分7分)
對于任意實數(shù)和,不等式恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.
解: (1)(選修4—2 矩陣與變換)(本題滿分7分)
(Ⅰ)由已知得
變化T的矩陣是 …………3分
(Ⅱ)由,得:,
代入方程,得:
∴圓C:在變化T的作用下變成了橢圓 …………7分
(2)(選修4—4 參數(shù)方程與極坐標(biāo))(本題滿分7分)
解:(Ⅰ)圓O:,即
圓O的直角坐標(biāo)方程為:,即 …………3分
直線,即
則直線的直角坐標(biāo)方程為:,即 …………5分
(Ⅱ)由得
故直線與圓O公共點(diǎn)的一個極坐標(biāo)為 …………7分
(3)(選修4—5 不等式證明選講)(本題滿分7分)
解:由題知,恒成立,
故不大于的最小值 …………3分
∵,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
∴的最小值等于2. …………6分
∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解,解不等式得 ………7分
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