Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 AB=BC=2，∠ABC=120°，又頂點A₁在底面ABC上的射影落在AC上，側棱AA₁與底面成60°的角，D為AC的中點．
（1）求證：AA₁⊥BD；
（2）若面A₁DB⊥面DC₁B，求側棱AA₁之長．

Answer 1

證明：（1）在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因為A₁在底面ABC上射影落在AC上，則平面A₁ACC₁經過底面ABC的垂線
故側面A₁C⊥面ABC．
又 BD為等腰△ABC底邊AC上中線，則BD⊥AC，從而BD⊥面AC．
∴BD⊥面A₁C
又AA₁?面A₁C，∴AA₁⊥BD
（2）解：在底面ABC，△ABC是等腰三角形，D為底邊AC上中點，故DB⊥AC，又面ABC⊥面A₁C
∴DB⊥面A₁C，則DB⊥DA₁，DB⊥DC₁，則∠A₁DC₁是二面角A₁-OB-C₁的平面角
∵面A₁DB⊥面DC₁B，則∠A₁DC₁=Rt∠，將平面A₁ACC₁放在平面坐標系中（如圖），

∵側棱AA₁和底面成60°，
設A₁A=a，則A₁=（，a），C₁（+2，a） A（0，0），C（2，0），AC中點D（，0），
由知：（-，a）•（+，a）=0，∴a²=3，a=
故所求側棱AA₁長為
分析：（1）要證線線垂直，關鍵是證明線面垂直，利用面面垂直可得線面垂直，故可證；
（2）由于面A₁DB⊥面DC₁B，△ABC是等腰三角形，D為底邊AC上中點，可知∠A₁DC₁是二面角A₁-OB-C₁的平面角為Rt∠，再將平面A₁ACC₁放在平面坐標系中，可求．
點評：本題的考點是點、線、面間的距離計算，考查平面與平面垂直的性質，二面角及其度量，考查計算能力，邏輯思維能力，轉化思想．