Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱AB上的動點．
（Ⅰ）求證：DA₁⊥ED₁；
（Ⅱ）若直線DA₁與平面CED₁成角為45°，求

AE

AB

的值；
（Ⅲ）寫出點E到直線D₁C距離的最大值及此時點E的位置（結(jié)論不要求證明）．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）建立坐標系，求出

DA1

=（1，0，1），

ED1

=（-1，-m，1），可得

DA1

•

ED1

=0，即可證明DA₁⊥ED₁；
（Ⅱ）求出平面CED₁的一個法向量，利用直線DA₁與平面CED₁成角為45°，可得

|2-m|

2 • m2-2m+3

=

2

2

，即可求

AE

AB

的值；
（Ⅲ）點E在A點處，可求點E到直線D₁C距離的最大值．

解答： 解：以D為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），設(shè)E（1，m，0）（0≤m≤1）
（Ⅰ）證明：

DA1

=（1，0，1），

ED1

=（-1，-m，1）
∴

DA1

•

ED1

=0
∴DA₁⊥ED₁；（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)平面CED₁的一個法向量為

v

=（x，y，z），則
∵

CD1

=（0，-1，1），

CE

=（1，m-1，0）
∴

-y+z=0 x+(m-1)y=0

．
取z=1，得y=1，x=1-m，得

v

=（1-m，1，1）．
∵直線DA₁與平面CED₁成角為45°，
∴sin45°=|cos＜

DA1

，

v

＞|=

2

2

，
∴

|2-m|

2 • m2-2m+3

=

2

2

，解得m=

1

2

．-----（11分）
（Ⅲ）解：點E到直線D₁C距離的最大值為

6

2

，此時點E在A點處．------（14分）

點評：本題考查線線垂直，考查線面角，考查向量知識的運用，正確求向量是關(guān)鍵．