【題目】已知等邊三角形PAB的邊長為4,四邊形ABCD為正方形,平面PAB⊥平面ABCD,E,F(xiàn),G,H分別是線段AB,CD,PD,PC上的點(diǎn).
(1)如圖①,若G為線段PD的中點(diǎn),BE=DF=1,證明:PB∥平面EFG;
(2)如圖②,若E,F(xiàn)分別是線段AB,CD的中點(diǎn),DG=3GP,GH= HP,求二面角H﹣EF﹣G的余弦值.

【答案】
(1)證明:取CD的中點(diǎn)K,連結(jié)PK、BK,

∵G為線段PD的中點(diǎn),BE=DF=1,

∴GF是△DPK的中位線,∴PK∥GF,

∵GF平面EFG,PK平面EFG,

∴PK∥平面EFG,

∵四邊形ABCD為正方形,BE=DF=1,∴四邊形EBKF是平行四邊形,

∴BK∥EF,∵EF平面EFG,BK平面EFG,

∴BK∥平面EFG,

∵PK∩BK=K,PK,BK平面PKB,∴平面EFG∥平面PKB,

∵PB平面PKB,∴PB∥平面EFG


(2)解:(2)連結(jié)PE,則PE⊥AB,

∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE平面PAB,

∴PE⊥平面ABCD,分別以EB、EF、EP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,2 ),E(0,0,0),F(xiàn)(0,4,0),G(﹣ ,1, ),H( ,3, ),

=( ), =(0,4,0), =(﹣ ),

設(shè)平面EFG的法向量 =(x,y,z),

,取x=9,得 =(9,0, ),

設(shè)平面HEF的法向量 =(a,b,c),

,取a=﹣1,得 =(﹣1,0, ),

∴cos< >= = =﹣ ,

由圖知二面角H﹣EF﹣G是鈍角,

∴二面角H﹣EF﹣G的余弦值是﹣


【解析】(1)取CD的中點(diǎn)K,連結(jié)PK、BK,推導(dǎo)出GF是△DPK的中位線,從而PK∥GF,進(jìn)而PK∥平面EFG,推導(dǎo)出四邊形EBKF是平行四邊形,從而BK∥平面EFG,進(jìn)而平面EFG∥平面PKB,由此能證明PB∥平面EFG.(2)連結(jié)PE,則PE⊥AB,分別以EB、EF、EP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角H﹣EF﹣G的余弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.(﹣∞,﹣
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B.e
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A.3
B.4
C.3
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