Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2-2x-1，x≥0 x2+bx+c，x＜0

，是偶函數(shù)，直線y=t與函數(shù)y=f（x）的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)A，B，C，D．若AB=BC，則實(shí)數(shù)t的值為（　�。�

• A、-

  7

  2

• B、-

  7

  4

• C、

  7

  4

• D、

  7

  2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）是偶函數(shù)可得x＞0時(shí)恒有f（-x）=f（x），根據(jù)該恒等式即可求得a，b，c的值，從而得到f（x），令t=f（x），可解得A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)AB=BC可列關(guān)于t的方程，解出即可．

解答： 解：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以x＞0時(shí)恒有f（-x）=f（x），即x²-bx+c=ax²-2x-1，
所以（a-1）x²+（b-2）x-c-1=0，
所以

a-1=0 b-2=0 -c-1=0

，解得a=1，b=2，c=-1，
所以f（x）=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

，
由t=x²+2x-1，即x²+2x-1-t=0，解得x=-1±

t+2

，
故x_A=-1-

t+2

，x_B=-1+

t+2

，
由t=x²-2x-1，即x²-2x-1-t=0，解得x=1±

t+2

，
故x_C=1-

t+2

，
因?yàn)锳B=BC，所以x_B-x_A=x_C-x_B，即2

t+2

=2-2

t+2

，解得t=-

7

4

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題．