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12.已知c為實數(shù),對于實數(shù)p,q定義運算“*”,p*q={p2+cqc2pq12p2+cq+12c2pq且函數(shù)f(x)=(2x-c)*x
(1)若c=13,且方程f(x)=d恰有三個不相等的實根,求實數(shù)d的取值范圍
(2)若c>0,且函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上既有最大值又有最小值,試分別求出a,b的取值范圍(用c表示)

分析 (1)由新定義可得f(x)的解析式,畫出圖象,求得x=13時,y=19;x=14時,y=18.結合圖象,即可得到所求d的范圍;
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,要使得函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內既有最大值又有最小值,則最小值一定在x=c處取得,最大值在x=34c處取得,分別求得函數(shù)值為c2時,x=12c,函數(shù)值為98c2時,x=3+38c,即可得到a,b的范圍.

解答 解:由新定義可得f(x)={4x23cxxc2x2+3cxxc,
(1)當c=13時,f(x)={4x2xx132x2+xx13,
作出y=f(x)的圖象如右,可得x=13時,y=19
x=14時,y=18
由圖象可得19<d<18時,y=f(x)的圖象和直線y=d有3個交點,
即有方程f(x)=d恰有三個不相等的實根;
(2)當c>0時,函數(shù)的圖象如圖,
要使得函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內既有最大值又有最小值,
則最小值一定在x=c處取得,
最大值在x=34c處取得,f(c)=c2,
在區(qū)間(-∞,c)內,函數(shù)值為c2時,x=12c,
所以12c≤a<34c;
f(34c)=98c2,而在區(qū)間(a,+∞)內函數(shù)值為98c2時,
x=3+38c,
所以c<b≤3+38c.

點評 本題考查分段函數(shù)的圖象和最值的求法,注意運用函數(shù)方程的思想方法和函數(shù)的單調性,考查運算能力,屬于難題.

練習冊系列答案
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