Question

7．已知圓C：x²+y²-4x-2y-20=0及直線l：mx-y-m+3=0（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交；
（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值及此時(shí)的直線方程．

Answer 1

分析 （1）把直線l的方程改寫成y-3=m（x-1）=0，所以直線l總過定點(diǎn)（1，3），判斷點(diǎn)（1，3）在圓內(nèi)，即可證明結(jié)論；
（2）當(dāng)直線l過定點(diǎn)M（1，3）且垂直于過點(diǎn)M的圓C的半徑時(shí)，l被截得的弦長(zhǎng)|AB|最短．

解答 （1）證明：把直線l的方程改寫成y-3=m（x-1）=0，所以直線l總過定點(diǎn)（1，3）．
圓C的方程可寫成（x-2）²+（y-1）²=25，所以圓C的圓心為（2，1），半徑為5．
定點(diǎn)（1，3）到圓心（2，1）的距離為$\sqrt{5}$＜5，即點(diǎn)（1，3）在圓內(nèi)．所以過點(diǎn)（1，3）的直線總與圓相交，即不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交．
（2）解：設(shè)直線與圓交于A、B兩點(diǎn)．
當(dāng)直線l過定點(diǎn)M（1，3）且垂直于過點(diǎn)M的圓C的半徑時(shí)，l被截得的弦長(zhǎng)|AB|最短．
因?yàn)閨AB|=2$\sqrt{25-[（3-1）^{2}+（1-2）^{2}]}$=2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$，
此時(shí)k_AB=-$\frac{1}{{k}_{CM}}$=$\frac{1}{2}$，所以直線AB的方程為y-3=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+5=0．
故直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為4$\sqrt{5}$，此時(shí)直線l的方程為x-2y+5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．