Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且．

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①；②見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解；（2）①由題意可知在上有兩個(gè)根，，且，即在上有兩個(gè)不相等的根，，列式求實(shí)數(shù)的范圍；②由①可知其中，，整理代入根與系數(shù)的關(guān)系，，轉(zhuǎn)化為證明恒成立.

（1）依題意，，故，所以

據(jù)題意可知，，解得．所以實(shí)數(shù)a的值為2．

（2）①因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，

所以在上有兩個(gè)根，，且，

即在上有兩個(gè)不相等的根，

所以，解得，當(dāng)時(shí)，若或，

，，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；

若，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

②由①可知，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，

所以其中．

故

，

令，其中．故，

令，，在上單調(diào)遞增．

由于，，所以存在常數(shù)，使得，

即，．且當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，

又，，所以，即．

故得證．