分析 由已知得→AC=→a−→c,→BD=→+→c,從而由→AC•→BD=(→a−→c)•(→+→c)=-3,得|(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)-→c|=2,從而c2ab+1=→a•→+(→a−→)→c+3→a•→+1,由此入手能求出c2ab+1的最小值.
解答 解:∵在三棱錐D-ABC中,AB=2,→AC•→BD=-3,設(shè)→AD=→a,→BC=→,→CD=→c
∴→AC=→a−→c,→BD=→+→c,
∴→AC•→BD=(→a−→c)•(→+→c)
=→a•→+→a•→c−→•→c−→c2=-3,
∴→c2=\overrightarrow{a}•\overrightarrow+→a•→c-→•→c+3,
又→AB=→a−→BD=→a−→−→c,
∴|(→a−→)-→c|=2,①
∴c2ab+1=→a•→+(→a−→)•→c+3ab+1,②
將①兩邊平方得(→a−→)2+→c2−2(→a−→)•→c=4,
∴(→a−→)2+→c2−4=2(→a−→)•→c,
∴(→a−→)22+→c22−2=(→a−→)•→c,
代入②中,得c2→a•→+1=→a•→+(→a−→)22+→c22+1ab+1,
∴12→c2=\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1+(→a−→)22
=\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1+\frac{1}{2}({\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow)
=1+12({\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}),
∴{\overrightarrow{c}}^{2}=2+{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2},
又→c2=c2,→a2=a2,{\overrightarrow}^{2}=^{2},
∴c2ab+1=2+a2+2ab+1≥2+2abab+1=2.
∴c2ab+1的最小值為2.
故答案為:2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形中關(guān)于邊長(zhǎng)的代數(shù)式的最小值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用.
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A. | 671 | B. | 672 | C. | 673 | D. | 674 |
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