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1.如圖,在三棱錐D-ABC中,已知AB=2,ACBD=-3,設(shè)AD=a,BC=b,CD=c,則c2ab+1的最小值為2.

分析 由已知得AC=acBD=+c,從而由ACBD=(ac)•(+c)=-3,得|(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)-c|=2,從而c2ab+1=a+ac+3a+1,由此入手能求出c2ab+1的最小值.

解答 解:∵在三棱錐D-ABC中,AB=2,ACBD=-3,設(shè)AD=aBC=CD=c
AC=ac,BD=+c,
ACBD=(ac)•(+c
=a+accc2=-3,
c2=\overrightarrow{a}•\overrightarrow+ac-c+3,
AB=aBD=ac,
∴|(a)-c|=2,①
c2ab+1=a+ac+3ab+1,②
將①兩邊平方得a2+c22ac=4
a2+c24=2ac
a22+c222=ac,
代入②中,得c2a+1=a+a22+c22+1ab+1,
12c2=\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1+a22
=\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1+\frac{1}{2}({\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow)
=1+12{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}),
{\overrightarrow{c}}^{2}=2+{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2},
c2=c2a2=a2,{\overrightarrow}^{2}=^{2}
c2ab+1=2+a2+2ab+12+2abab+1=2.
c2ab+1的最小值為2.
故答案為:2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形中關(guān)于邊長(zhǎng)的代數(shù)式的最小值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用.

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