過橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上一點M作圓x2+y2=2的兩條切線,點A,B為切點.過A,B的直線l與x軸,y軸分別交于點P,Q兩點,則△POQ的面積的最小值為
2
3
2
3
分析:由點M在橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上,知M(3cosθ,2sinθ),過橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上一點M(3cosθ,2sinθ)作圓x2+y2=2的兩條切線,點A,B為切點,知直線AB的方程為:(3cosθ)x+(2sinθ)y=2,由此求出直線l在x、y軸上的截距,則△POQ面積的最小值可求.
解答:解:∵點M在橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上,∴設M(3cosθ,2sinθ),
∵過橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上一點M(3cosθ,2sinθ)作圓x2+y2=2的兩條切線,點A,B為切點,
則|PA|2=|OP|2-2=9cos2θ+4sin2θ-2,
∴以P為圓心,以|PA|為半徑的圓的方程為(x-3cosθ)2+(y-2sinθ)2=9cos2θ+4sin2θ-2  ①.
又圓的方程為x2+y2=2  ②.
①-②得,直線AB的方程為:(3cosθ)x+(2sinθ)y=2,
∵過A,B的直線l與x軸,y軸分別交于點P,Q兩點,
∴P(
2
3cosθ
,0
),Q(0,
1
sinθ
),
∴△POQ面積S=
1
2
×|
2
3cosθ
|×|
1
sinθ
|=
2
|3sin2θ|
,
∵-1≤sin2θ≤1,
∴當sin2θ=±1時,△POQ面積取最小值
2
3

故答案為:
2
3
點評:本題考查了圓與圓錐曲線的綜合,考查了數(shù)學轉化思想方法,解答的關鍵是求出經過兩個切點A,B的直線方程,考查了學生的計算能力,是中高檔題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

過橢圓
x2
9
+
y2
4
=1內一定點(1,0)作弦,則弦中點的軌跡方程為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

過橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
內一點M(2,0)引橢圓的動弦AB,則弦AB的中點N的軌跡方程是
(x-1)2+
9
4
y2=1
(x-1)2+
9
4
y2=1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

過橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
上一點H作圓x2+y2=2的兩條切線,點A,B為切點,過A,B的直線l與x軸,y軸分布交于點P,Q兩點,則△POQ面積的最小值為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

過橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
內一點P(1,1)作弦AB,若
AP
=
PB
,則直線AB的方程為
4x+9y-13=0
4x+9y-13=0

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