如圖,橢圓E:=1(a>b>0)的左焦點為F1,右焦點為F2,離心率e=.過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.試探究:在坐標平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系xOy中,設曲線C1:所圍成的封閉圖形的面積為,曲線C1上的點到原點O的最短距離為.以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓記為C2.
(1)求橢圓C2的標準方程;
(2)設AB是過橢圓C2中心O的任意弦,l是線段AB的垂直平分線.M是l上的點(與O不重合).
①若MO=2OA,當點A在橢圓C2上運動時,求點M的軌跡方程;
②若M是l與橢圓C2的交點,求△AMB的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知圓 ,若橢圓的右頂點為圓的圓心,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若存在直線,使得直線與橢圓分別交于兩點,與圓分別交于兩點,點在線段上,且,求圓的半徑的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
橢圓以雙曲線的實軸為短軸、虛軸為長軸,且與拋物線交于兩點.
(1)求橢圓的方程及線段的長;
(2)在與圖像的公共區(qū)域內(nèi),是否存在一點,使得的弦與的弦相互垂直平分于點?若存在,求點坐標,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓的中心在原點O,右焦點F在x軸上,橢圓與y軸交于A、B兩點,其右準線l與x軸交于T點,直線BF交橢圓于C點,P為橢圓上弧AC上的一點.
(1)求證:A、C、T三點共線;
(2)如果=3,四邊形APCB的面積最大值為,求此時橢圓的方程和P點坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標系xOy中,M、N分別是橢圓=1的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點,其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連結(jié)AC,并延長交橢圓于點B,設直線PA的斜率為k.
(1)若直線PA平分線段MN,求k的值;
(2)當k=2時,求點P到直線AB的距離d;
(3)對任意k>0,求證:PA⊥PB..
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已知橢圓C的方程為=1(a>b>0),雙曲線=1的兩條漸近線為l1、l2,過橢圓C的右焦點F作直線l,使l⊥l1.又l與l2交于P點,設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖).
(1)當l1與l2夾角為60°,雙曲線的焦距為4時,求橢圓C的方程;
(2)當=λ,求λ的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
拋物線y2=2px的準線方程為x=-2,該拋物線上的每個點到準線x=-2的距離都與到定點N的距離相等,圓N是以N為圓心,同時與直線l1:y=x和l2:y=-x相切的圓,
(1)求定點N的坐標;
(2)是否存在一條直線l同時滿足下列條件:
①l分別與直線l1和l2交于A、B兩點,且AB中點為E(4,1);
②l被圓N截得的弦長為2.
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如圖,已知橢圓=1(a>b>0),F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若=2,·=,求橢圓的方程.
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