已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(
1
2
f(x),cosx),
m
n

(I)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間及在[-
π
6
π
4
]
內(nèi)的值域;
(II)已知A為△ABC的內(nèi)角,若f(
A
2
)=1+
3
,a=1,b=
2
,求△ABC的面積.
分析:
m
n
,根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示整理可求f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1
(1)令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,由所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可求函數(shù)在[-
π
6
,
π
4
]
單調(diào)性,進(jìn)而可求函數(shù)的值域
(2)由題f(
1
2
A
)=1+
3
及a<b可求A,然后由正弦定理可得,sinB=
bsinA
a
可求B,進(jìn)而可求C,代入三角形的面積公式S△ABC=
1
2
absinC
可求
解答:解:∵
m
n

(
3
sinx+cosx)cosx-
1
2
f(x)=0

∴f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x
=
3
sin2x+cos2x+1

=2sin(2x+
π
6
)+1
(1)令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,k∈Z
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
]k∈Z
由所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可知,函數(shù)在[-
π
6
,
π
4
]
單調(diào)遞增
0≤f(x)≤
3
+1

(2)由題意可得,f(
1
2
A
)=2sin(A+
π
6
)+1=1+
3

∴sin(A+
π
6
)=
3
2

∵A∈(0,π)
A+
π
6
∈(
π
6
,
6
)

∴A+
π
6
=
π
3
3

∴A=
π
6
π
2

∵a=1<b=
2

∴A=
1
2
π
不合題意
當(dāng)A=
π
6
時(shí),由正弦定理可得,sinB=
bsinA
a
=
2
×
1
2
1
=
2
2

∵a<b
∴A<B
∴B=
π
4
4

當(dāng)A=
π
6
,B=
π
4
時(shí),C=
12
,此時(shí)S△ABC=
1
2
absinC
=
1
2
×1×
2
sin
12
=
2
×
2
+
6
4
=
3
+1
2


當(dāng)A=
π
6
,B=
4
時(shí),C=
π
12
,此時(shí)S△ABC=
1
2
absinC
=
1
2
×1×
2
sin
π
12
=
2
×
6
-
2
4
=
3
-1
2
點(diǎn)評:本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)表示的應(yīng)用,三角函數(shù)的輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識的綜合應(yīng)用,具有一定的 綜合性
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sinx,cosx),
n
=(cosx,cosx),
p
=(2
3
,1)

(1)若
m
n
,求sinx•cosx的值;
(2)設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對的角B的取值集合為M,當(dāng)x∈M時(shí),求函數(shù)f(x)=
m
n
的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx,  1)
,
n
=(cosx,  
1
2
)
,若f(x)=
m
n

(1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2) 已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且c=3, f(
C
2
+
π
12
)=
3
2
(C為銳角),2sinA=sinB,求C、a、b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(cosx,-f(x))
,且
m
n
,
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0, 
π
2
]
時(shí),函數(shù)g(x)=a[f(x)-
1
2
]+b
的最大值為3,最小值為0,試求a、b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽模擬)已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(cosx,-f(x)),
m
n

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知A為△ABC的內(nèi)角,若f(
A
2
)=
1
2
+
3
2
,a=1,b=
2
,求△ABC的面積.

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