橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2，短軸兩端點B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四點共圓，且點（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為5
2
，則此橢圓的方程是（　　）
分析：由F1、F2、B1、B2四點共圓，得出b=c，進而得到a2=b2+c2=2b2，再設(shè)橢圓的方程（含參數(shù)b），設(shè)H（x，y）為橢圓上一點，化簡點（0，3）到橢圓上的點的距離，利用其最大值，分類討論求出參數(shù)b的值，即得橢圓的方程．
解答：解：∵F1、F2、B1、B2四點共圓，∴b=c，
∴a2=b2+c2=2b2，
設(shè)橢圓的方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1，N（0，3），
設(shè)H（x，y）為橢圓上一點，則|HN|2=x2+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|2的最大值b2+6b+9=50得   b=-3±5
2
 （舍去），
②若b≥3，|HN|2的最大值2b2+18=50得b2=16，
∴所求的橢圓的方程為：
x2
32
+
y2
16
=1．
故選A．
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、函數(shù)最值的求法等，解題時要注意分類討論思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標為（a，0），求點B的坐標；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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