Question

19．定義：f₁（x）=f（x），當n≥2且x∈N^*時，f_n（x）=f（f_n-1（x）），對于函數f（x）定義域內的x₀，若正在正整數n是使得f_n（x₀）=x₀成立的最小正整數，則稱n是點x₀的最小正周期，x₀稱為f（x）的n～周期點，已知定義在[0，1]上的函數f（x）的圖象如圖，對于函數f（x），下列說法正確的是①②③（寫出所有正確命題的編號）
①1是f（x）的一個3～周期點；
②3是點$\frac{1}{2}$的最小正周期；
③對于任意正整數n，都有f_n（${\frac{2}{3}}$）=$\frac{2}{3}$；
④若x₀∈（$\frac{1}{2}$，1]，則x₀是f（x）的一個2～周期點．

Answer 1

分析 根據已知中點x₀的最小正周期，x₀稱為f（x）的n～周期點的定義，逐一分析四個結論的真假可得答案．

解答 解：f₁（1）=f（1）=0，f₂（1）=f（f₁（1））=f（0）=$\frac{1}{2}$，f₃（1）=f（f₂（1））=f（$\frac{1}{2}$）=1，
故①1是f（x）的一個3～周期點，正確；
f₁（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=1，f₂（$\frac{1}{2}$）=f（f₁（$\frac{1}{2}$））=f（1）=0，f₃（$\frac{1}{2}$）=f（f₂（$\frac{1}{2}$））=f（0）=$\frac{1}{2}$，
故②3是點$\frac{1}{2}$的最小正周期，正確；
由已知中的圖象可得：f（${\frac{2}{3}}$）=$\frac{2}{3}$，
故f₁（${\frac{2}{3}}$）=f（${\frac{2}{3}}$）=${\frac{2}{3}}$，f₂（${\frac{2}{3}}$）=f（f₁（${\frac{2}{3}}$））=f（${\frac{2}{3}}$）=${\frac{2}{3}}$，f₃（${\frac{2}{3}}$）=f（f₂（${\frac{2}{3}}$））=f（${\frac{2}{3}}$）=${\frac{2}{3}}$，…
故③對于任意正整數n，都有f_n（${\frac{2}{3}}$）=$\frac{2}{3}$，正確；
④若x₀=1，則x₀∈（$\frac{1}{2}$，1]，但x₀是f（x）的一個3～周期點，故錯誤．
故答案為：①②③

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了新定義點x₀的最小正周期，x₀稱為f（x）的n～周期點，正確理解新定義，是解答的關鍵．