Question

已知函數(shù)f（x）=x-x²+3lnx
（Ⅰ）求在P（1，0）處的切線方程；
（Ⅱ）證明f（x）≤2x-2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），然后直接由直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x+2，由導(dǎo)函數(shù)求其在（0，+∞）上的最大值，得到最大值為0，則結(jié)論得證．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=x-x²+3lnx （x＞0），
∴f′(x)=1-2x+

3

x

，
則f′（1）=1-2×1+3=2，
∴曲線在P（1，0）處的切線方程為y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0；
（Ⅱ）證明：令g（x）=f（x）-2x+2=x-x²+3lnx-2x+2=3lnx-x²-x+2 （x＞0）．
g′(x)=

3

x

-2x-1=

3-x-2x2

x

=

(3+2x)(1-x)

x

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有極大值，也是（0，+∞）上的最大值，為3ln1-1²-1+2=0．
∴g（x）=f（x）-2x+2≤0．
即f（x）≤2x-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用構(gòu)造函數(shù)法比較兩個(gè)函數(shù)式的大小，方法是利用導(dǎo)數(shù)求差函數(shù)的最值，是中檔題．