Question

(理)設(shè)a＞0,函數(shù)f(x)=+a.

(1)若f(x)在區(qū)間(0,1］上是增函數(shù),求a的取值范圍;

(2)求f(x)在區(qū)間(0,1］上的最大值.

(文)設(shè)直線l:y=x+1與橢圓=1(a＞b＞0)相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn),與x軸相交于點(diǎn)F.

(1)證明a²+b²＞1;

(2)若F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且,求橢圓的方程.

Answer 1

答案：(理)解：(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù),得f′(x)=1.

要使f(x)在區(qū)間(0,1]上是增函數(shù),只要f′(x)=1≥0在(0,1]上恒成立,

即a≤在(0,1]上恒成立.

因?yàn)?+在(0,1]上單調(diào)遞減,所以1+在(0,1]上的最小值是.

注意到a＞0,所以a的取值范圍是(0,].

(2)①當(dāng)0＜a≤時(shí),由(1),知f(x)在(0,1]上是增函數(shù),此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值是f(1)=1+(1-)a.

②當(dāng)a＞時(shí),令f′(x)=1=0,解得x=∈(0,1).

因?yàn)楫?dāng)0＜x＜時(shí),f′(x)＞0;當(dāng)＜x＜1時(shí),f′(x)＜0,

所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,1)上單調(diào)遞減.

此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值是f()=a-a²-1.

綜上,當(dāng)0＜a≤時(shí),f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值是1+(1-)a;

當(dāng)a＞時(shí),f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值是.

(文)(1)證明:將y=x+1,代入=1,消去x,得(a²+b²)y²-2b²y+b²(1-a²)=0.① 

由直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),得Δ=4b⁴-4b²(a²+b²)(1-a²)=4a²b²(a²+b²-1)＞0,

所以a²+b²＞1.

(2)解:設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由①,得y₁+y₂=,y₁y₂=.

因?yàn)?SUB>,得y₁=-2y₂.所以y₁+y₂==-y₂,y₁y₂==-2y₂².

消去y₂,得=-2()²,化簡,得(a²+b²)(a²-1)=8b².

若F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則c=1,b²=a²-1,代入上式,解得a²=,b²=,

所以橢圓的方程為=1.