Question

做一個(gè)圓柱形鍋爐容積為v，兩個(gè)底面的材料的造價(jià)為20元/m²，側(cè)面的材料造價(jià)為15元/m²，問(wèn)鍋爐的底面直徑與高的比為多少時(shí)造價(jià)最低？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意，設(shè)設(shè)底面半徑為r，造價(jià)為y元；則側(cè)面的高為

v

πr2

；故y=20×2×πr²+15×2×π×r×

v

πr2

，利用導(dǎo)數(shù)求最值點(diǎn)，從而求比值．

解答： 解：設(shè)底面半徑為r，造價(jià)為y元；
則側(cè)面的高為

v

πr2

；
故y=20×2×πr²+15×2×π×r×

v

πr2

=40πr²+30

v

r

，
y′=80πr-

30v

r2

=

80πr3-30v

r2

=0，
則當(dāng)r³=

3v

8π

時(shí)，造價(jià)最低；
此時(shí)，2r：

v

πr2

=2πr³：v
=2π×

3v

8π

：v
=3：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．