已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1，過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A（-a，0）的直線(xiàn)L與橢圓交于Q，與y軸交于R，過(guò)原點(diǎn)與L平行的直線(xiàn)與橢圓交于P，求證：AQ，
2
OP，AR成等比數(shù)列．
分析：根據(jù)題意設(shè)過(guò)左頂點(diǎn)的直線(xiàn)解析式為：y-0=k（x+a）則與L平行的直線(xiàn)為y=kx分別求出Q、R、P點(diǎn)坐標(biāo)，表示出AQ，
2
OP，AR．只需證2OP2=AQ•AR即可得證．
解答：解：設(shè)過(guò)左頂點(diǎn)A的直線(xiàn)L解析式為：y-0=k（x+a）即y=kx+ka，與y軸交點(diǎn)R坐標(biāo)為（0，ka）；
AR=
(1+k2) a2
；
聯(lián)立
y=kx+ka
x2
a2
+
y2
b2
=1

得到AQ=2
b2
b2+a2k2 
；
則過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)為y=kx，與橢圓的交點(diǎn)為P，
聯(lián)立
x2
a2
+
y2
b2
=1 
y=kx

得：
x=±
a2b2
b2+a2k2
y=±k
a2b2
b2+a2k2

所以P（
a2b2
b2+a2k2 
，k
a2b2
b2+a2k2
），OP=
(1+k2)
a2b2
b2+a2k2
．
得：2OP2=AQ•AR
故AQ，
2
OP，AR成等比數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)的能力，以及應(yīng)用橢圓性質(zhì)的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線(xiàn)l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線(xiàn)AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），直線(xiàn)y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過(guò)右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線(xiàn)l：y=1，過(guò)M任作一條不與y軸重合的直線(xiàn)與橢圓相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線(xiàn)l上的射影，AB的中垂線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作y軸的平行線(xiàn)交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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