Question

已知實數(shù)a，b滿足log 

1

2

a=log 

1

3

b，下列五個關(guān)系式：
①a＞b＞1
②0＜b＜a＜1
③b＞a＞1 
④0＜a＜b＜1
⑤a=b
其中不可能成立的關(guān)系有（　�。�

• A、1 個
• B、2 個
• C、3 個
• D、4個

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：化簡log 

1

2

a=log 

1

3

b，得

lga

lg2

=

lgb

lg3

；
討論①中，舉反例說明等式不成立；
②中，舉例說明等式成立；
③中，推到出等式成立；
④中，舉反例說明等式不成立；
⑤中，舉例說明等式成立．

解答： 解：∵實數(shù)a，b滿足log 

1

2

a=log 

1

3

b，
即

lga

lg 1 2

=

lgb

lg 1 3

，∴

lga

-lg2

=

lgb

-lg3

，∴

lga

lg2

=

lgb

lg3

；
對于①，當(dāng)a=3，b=2時，

lg3

lg2

≠

lg2

lg3

，即log

1

2

3≠log

1

3

2，∴①不成立；
對于②，當(dāng)a=

1

2

，b=

1

3

時，log

1

2

1

2

=log

1

3

1

3

=1，等式成立，∴②成立；
對于③，由lg2＜lg3，當(dāng)0＜lga＜lgb，即1＜a＜b時，等式成立，∴③成立；
對于④，當(dāng)a=

1

3

，b=

1

2

時，

lg 1 3

lg 1 2

≠

lg 1 2

lg 1 3

，即log

1

2

1

3

≠log

1

3

1

2

，∴④不成立；
對于⑤，當(dāng)a=b=1時，log 

1

2

1=log 

1

3

1=0，等式成立，∴⑤成立；
所以，以上等式不可能成立的是①④．
故選：B．

點評：本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)以及不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)通過證明或者舉例的方法進(jìn)行逐一驗證，是綜合題．