已知不過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線L與拋物線y2=2x相交于A、B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OE⊥AB于E.
①求證:直線L過定點(diǎn);
②求點(diǎn)E的軌跡方程.
分析:①令直線ty=x-b(b≠0),與拋物線方程y2=2x聯(lián)立得:y2-2ty-2b=0,利用韋達(dá)定理可得y1+y2=2ty1y2=-2b,結(jié)合OA⊥OB即可求得b的值,從而可證直線L過定點(diǎn);
②依題意,可知點(diǎn)E的軌跡是以線段OC為直徑的圓除去點(diǎn)O,從而可得點(diǎn)E的軌跡方程.
解答:解:①令直線ty=x-b(b≠0)與拋物線y2=2x相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)(給直線方程給分)…(1分)
ty=x-b
y2=2x
得:y2-2ty-2b=0…(2分)
于是,y1、y2是此方程的兩實(shí)根,由韋達(dá)定理得:y1+y2=2ty1y2=-2b…(3分)
x1x2=(ty1+b)(ty2+b)=t2y1y2+tb(y1+y2)+b2=b2…(4分)
又OA⊥OB?x1x2+y1y2=0…(5分)
∴b2-2b=0,又b≠0,
∴b=2…(6分)
故直線L:ty=x-2過定點(diǎn)C(2,0)…(8分)
②∵O(0,0),C(2,0),OE⊥CE…(9分)
∴點(diǎn)E的軌跡是以線段OC為直徑的圓除去點(diǎn)O,…(11分)
故點(diǎn)E的軌跡方程為(x-1)2+y2=1(x≠0)…(12分)
說明:直線L的方程設(shè)為y=kx+b又沒有討論k不存在的情況扣(2分);軌跡方程中沒有限制     x≠0扣(1分).
點(diǎn)評:本題考查恒過定點(diǎn)的直線,考查與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,考查韋達(dá)定理的應(yīng)用,求得b的值是關(guān)鍵,也是難點(diǎn),屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(Ⅰ)求圓心C的坐標(biāo)及半徑r的大小;
(Ⅱ)已知不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切,且在x軸、y軸上的截距相等,求直線l的方程;
(Ⅲ)從圓C外一點(diǎn)P(x,y)向圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|MP|=|OP|,求點(diǎn)P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•順義區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P在橢圓上,且△PF1F2的周長為6.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)P到直線l的距離為d,且M,O,P三點(diǎn)共線.求
12
13
|AB|2+
13
16
d2
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓數(shù)學(xué)公式的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P在橢圓上,且△PF1F2的周長為6.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)P到直線l的距離為d,且M,O,P三點(diǎn)共線.求數(shù)學(xué)公式的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖北省襄陽市襄州、棗陽、宜城、曾都一中聯(lián)考高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知不過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線L與拋物線y2=2x相交于A、B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OE⊥AB于E.
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