Question

已知等差數(shù)列滿足：=2，且成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）或；（2）當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意的n；當(dāng)時(shí)，存在滿足題意的n，其最小值為41.

【解析】

試題分析：（1）本小題利用基本量法，設(shè)公差為，則成等比可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解出即可寫(xiě)其通項(xiàng)公式；（2）在上小題已得的等差數(shù)列的前提下，求出其前n項(xiàng)和，利用轉(zhuǎn)化為不等解集問(wèn)題的分析即可，同時(shí)要注意n為正整數(shù).

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，，，成等比數(shù)列，故有，

化簡(jiǎn)得，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.

（2）當(dāng)時(shí)，.顯然，此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得成立.

當(dāng)時(shí)，.令，即，解得或（舍去），此時(shí)存在正整數(shù)n，使得成立，n的最小值為41.

綜上，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意的n；當(dāng)時(shí)，存在滿足題意的n，其最小值為41.

考點(diǎn)：等差與等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解一元二次不等式，分類討論與化歸思想.