Question

某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì)：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線，在拋物線上任意畫一個點，度量點的坐標，如圖．

（Ⅰ）拖動點，發(fā)現(xiàn)當時，，試求拋物線的方程；

（Ⅱ）設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點、，構(gòu)造直線、分別交準線于、兩點，構(gòu)造直線、．經(jīng)觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動點，恒有.請你證明這一結(jié)論．

（Ⅲ）為進一步研究該拋物線的性質(zhì)，某同學(xué)進行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點”改變?yōu)槠渌�“定點”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“與不再平行”．是否可以適當更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請寫出相應(yīng)的正確命題；否則，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）設(shè)出直線方程，點的坐標，聯(lián)立方程組證明，所以

（Ⅲ）設(shè)拋物線的頂點為，定點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，直線、分別交直線于、兩點，則

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）把，代入，得，          2分

所以，                                                                3分

因此，拋物線的方程．                                              4分

（Ⅱ）因為拋物線的焦點為，設(shè)，

依題意可設(shè)直線，

由得，則 ①                      6分

又因為，，所以，，

所以，，                         7分

又因為                                   8分

，  ②

把①代入②，得，                                   10分

即，

所以，

又因為、、、四點不共線，所以．                        11分

（Ⅲ）設(shè)拋物線的頂點為，定點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，直線、分別交直線于、兩點，則 ．                                                             14分

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因為拋物線的焦點為，設(shè)，                5分

依題意,可設(shè)直線，

由得，

則

所以                                                         7分

又因為，，

所以，，                                            10分

所以，，  

又因為、、、四點不共線，所以.                          11分

（Ⅲ）同解法一.                                                            14分

解法三：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因為拋物線的焦點為，設(shè)，

依題意，設(shè)直線，

由得，則，                         6分

又因為，，所以，，

又因為，                9分

所以，所以平行于軸；

同理可證平行于軸；

又因為、、、四點不共線，所以.                         11分

（Ⅲ）同解法一.                                                           14分

考點：本小題主要考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．

點評：圓錐曲線問題在高考中每年必考，且一般出在壓軸題的位置上，難度較低，主要考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等。