Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足

x+y-3≥0 x-y+1≥0 x≤2

（1）若z=

y

x

，求z的最大值和最小值；
（2）若z=x²+y²，求z的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可的得到結(jié)論．
（2）z的幾何意義為到原點(diǎn)的距離的平方，利用數(shù)形結(jié)合即可．

解答： 解：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則z的幾何意義是P（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，
由

x=2 x+y-3=0

，解得

x=2 y=1

，即A（2，1），
由

x=2 x-y+1=0

，解得

x=2 y=3

，即C（2，3），
由

x+y-3=0 x-y+1=0

，解得

x=1 y=2

，即B（1，2），
由圖象知OB的斜率最大為

2

1

=2，OA的斜率最小為

1

2

，
故z的最大值是2，最小值是

1

2

．
（2）z的幾何意義為到原點(diǎn)的距離的平方，
由圖象知，OC的距離最大，此時(shí)z=x²+y²=2²+3²=4+9=13，
原點(diǎn)到直線x+y-3=0的距離最小，d=

|-3|

2

=

3

2

此時(shí)z=d²=

9

2

，
故z最大值是13，最小值是

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．