如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn)，AA1＝AC＝CB＝AB.

(1)證明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角DA1CE的正弦值．.
（1）見解析（2）
(1)證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)．又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF.
因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝AB得AC⊥BC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.

設(shè)CA＝2，則D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．
設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，設(shè)m為平面A1CE的法向量，則可取m＝(2，1，－2)．
從而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D-A1C-E的正弦值為
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，，M是線段AE上的動點(diǎn)．
（1）試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱所有棱長都是2，D棱AC的中點(diǎn)，E是棱的中點(diǎn)，AE交于點(diǎn)H.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，點(diǎn)E在棱PD上，且DE=2PE.

（1）求證：BE⊥平面PCD；
（2）求二面角A一PD－B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．

(1)求證：DC⊥平面ABC；
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值；
(3)求二面角B－EF－A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如右圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，G為△BC1D的重心，

(1)試證：A1、G、C三點(diǎn)共線；
(2)試證：A1C⊥平面BC1D；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，A，D分別是矩形A1BCD1上的點(diǎn)，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四邊形A1ADD1沿AD折疊，使其與平面ABCD垂直，如圖2所示，連接A1B，D1C得幾何體ABA1­DCD1.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在棱AB上移動時，證明：D1E⊥A1D；
(2)在棱AB上是否存在點(diǎn)E，使二面角D1­EC­D的平面角為？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，且＝a,＝b,＝c，用a，b，c表示向量＝________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

正四棱錐S-ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角等于　　　.

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