Question

8．已知橢圓F：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$．其右焦點為F（c，0），第一象限的點A在橢圓T上，且AF⊥x軸．（I）若橢圓F過點（1，$-\frac{3}{2}$），求橢圓T的標準方程
（Ⅱ）已知直線l：y=x-c與橢圓T交于M、N兩點，且B（4c，y_B）為直線l上的點．證明：直線AM，AB、AN的斜率滿足k_AB一k_AM=k_AN-k_AB．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）F（1，0），由于AF⊥x軸，第一象限的點A在橢圓T上，可得A$（1，\frac{3}{2}）$．B（4，3），可得k_AB=$\frac{1}{2}$．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得7x²-8x-8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式可得：k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-\frac{7}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+5}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$，代入化簡即可證明．

解答 （1）解：由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得c=1，b=$\sqrt{3}$，a=2．
∴橢圓T的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）證明：F（1，0），∵AF⊥x軸，第一象限的點A在橢圓T上，∴A$（1，\frac{3}{2}）$．
B（4，3），∴k_AB=$\frac{3-\frac{3}{2}}{4-1}$=$\frac{1}{2}$．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為7x²-8x-8=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$．
k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{（{x}_{1}-\frac{5}{2}）（{x}_{2}-1）+（{x}_{2}-\frac{5}{2}）（{x}_{1}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-\frac{7}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+5}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{2×（-\frac{8}{7}）-\frac{7}{2}×\frac{8}{7}+5}{-\frac{8}{7}-\frac{8}{7}+1}$=1．
∴斜率滿足2k_AB=k_AM+k_AN，即k_AB一k_AM=k_AN-k_AB．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．