Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1，函數(shù)y=f（x+1）-1為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 化簡y=f（x+1）-1=（x+1）³+a（x+1）²+b（x+1）+1-1=x³+（3+a）x²+（3+2a+b）x+1+b+a，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{3+a=0}\\{1+a+b=0}\end{array}\right.$，從而化簡出f（x）=x³-3x²+2x+1，求導f′（x）=3x²-6x+2=3（x-1）²-1=3（x-1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）以確定函數(shù)的單調性，從而確定函數(shù)的零點的個數(shù)．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴y=f（x+1）-1=（x+1）³+a（x+1）²+b（x+1）+1-1
=x³+3x²+3x+1+ax²+2ax+a+bx+b
=x³+（3+a）x²+（3+2a+b）x+1+b+a，
∵函數(shù)y=f（x+1）-1為奇函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+a=0}\\{1+a+b=0}\end{array}\right.$，
解得，a=-3，b=2；
故f（x）=x³-3x²+2x+1，
f′（x）=3x²-6x+2=3（x-1）²-1=3（x-1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故f（x）在（-∞，1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上是增函數(shù)，在（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上是減函數(shù)，
在（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上是增函數(shù)；
且f（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=1+1-$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{9}$-4+2$\sqrt{3}$+2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1＞0，
f（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=1+1+$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{9}$-4-2$\sqrt{3}$+2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1＞0，
∴函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為1，
故選B．

點評 本題考查了函數(shù)的性質的應用及導數(shù)的綜合應用，同時考查了整體思想與轉化思想的應用．