Question

如圖，單位圓O中，

OA

，

OB

是兩個給定的夾角為120°的向量，P為單位圓上一動點，設

OP

=m

OA

+n

OB

，則設m+n的最大值為M，最小值為N，則M-N的值為（　　）

• A．2
• B．2

  2

• C．4
• D．2

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，建立坐標系，設出A，B點的坐標，并設∠AOC=α，則向量

OC

=(cosα，sinα)，且

OC

=m

OA

+n

OB

，由向量相等，得m，ny的值，從而求得m+n的最值．

解答：解：建立如圖所示的坐標系，則A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（-

1

2

，

3

2

）． 
設∠AOC=α，則

OC

=（cosα，sinα）．∵

OC

=m

OA

+n

OB

=（m，0）+（-

n

2

，

3

2

n）=（cosα，sinα），α∈[0，2π）．
n∴

m- n 2 =cosα 3 2 n=sinα

，∴

m= sinα 3 + cosα n= 2sinα 3

，∴m+n=

3

sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤360°．∴30°≤α+30°≤450°，故當α=60°時，m+n有最大值2；當α=240°時，m+n有最小值為-2，
∴M=2，N=-2．∴M-N=4，
故選：C．

點評：本題是向量的坐標表示的應用，結(jié)合圖形，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，容易求出結(jié)果．