Question

10．在極坐標系中，直線l的極坐標方程為$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}}$）=m（m∈R），以極點為原點極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數，且α∈[0，π]）．
（1）寫出直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；
（2）若直線l與曲線C有兩個公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據極坐標方程求出直角坐標方程和普通方程即可；（2）根據三角函數的性質求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由直線l的極坐標方程得：$\sqrt{2}ρ（{sinθcos\frac{π}{4}-cosθsin\frac{π}{4}}）=m$，
即直線l的直角坐標方程為：y-x=m，
由曲線C的參數方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$為參數，且α∈[0，π]）．
得：${（{\frac{x}{{\sqrt{3}}}}）^2}+{y^2}=\frac{x^2}{3}+{y^2}=1，y∈[{0，1}]$
（2）設曲線C上任意一點為$（{\sqrt{3}cosα，sinα}）$，
則$m=sinα-\sqrt{3}cosα=2sin（{α-\frac{π}{3}}），α∈[{0，π}]$，
∴-$\frac{π}{3}$≤α-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
畫出y=2sin（α-$\frac{π}{3}$）的圖象，如圖示：
，
α=$\frac{2}{3}$π時，y=2sin$\frac{2}{3}$π=$\sqrt{3}$，
∵直線l與曲線C有兩個公共點，結合圖象，
∴$m∈[{\sqrt{3}，2}）$．

點評 本題考查極坐標與參數方程與直角坐標方程的互化，考查三角函數的性質，考查計算能力，是一道中檔題．