【題目】已知直線x+y﹣1=0與橢圓 相交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)M在直線 上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若橢圓右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓x2+y2=1上,求橢圓的方程.
【答案】
(1)解:設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
由 得:(a2+b2)x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0.
△=﹣(2a2)2﹣(a2+b2)(a2﹣a2b2)>0,即a2+b2>1.
x1+x2= ,y1+y2=﹣( x1+x2)+2= ,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為( , ).
又點(diǎn)M在直線l上,
∴ ﹣ =0,
∴a2=2b2=2(a2﹣c2),∴a2=2c2,
∴
(2)解:由(1)知b=c,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F(b,0)關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為(x0,y0),
由 ,解得
∵x02+y02=1,
∴ ,
∴b2=1,顯然有a2+b2=3>1.
∴所求的橢圓的方程為
【解析】(1)設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立直線與橢圓的方程得關(guān)于x的一元二次方程;由根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2 , y1+y2;從而得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo),代入直線l的方程,得出a、c的關(guān)系,從而求得橢圓的離心率.(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0),F(xiàn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為(x0 , y0),則由互為對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分,可得方程組,解得x0、y0;代入圓的方程 x02+y02=1,得出b的值,從而得橢圓的方程.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)锳,如果存在函數(shù)x=g(t),使得函數(shù)y=f[g(t)]的值域仍是A,那么稱x=g(t)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)等值域變換.
(1)判斷下列函數(shù)x=g(t)是不是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)等值域變換?說明你的理由; ① ;
②f(x)=x2﹣x+1,x∈R,x=g(t)=2t , t∈R.
(2)設(shè)f(x)=log2x的定義域?yàn)閤∈[2,8],已知 是y=f(x)的一個(gè)等值域變換,且函數(shù)y=f[g(t)]的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m、n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件樣本,測(cè)量這些樣本的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:
質(zhì)量指標(biāo) | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125] |
頻數(shù) | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
則樣本的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[105,125]上的頻率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱 中,底面 是邊長(zhǎng)為2的正方形, 分別為線段 , 的中點(diǎn).
(1)求證: ||平面 ;
(2)四棱柱 的外接球的表面積為 ,求異面直線 與 所成的角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)是相等函數(shù)的為( )
A.
B.f(x)=(x﹣1)2 , g(x)=x﹣1
C.f(x)=x2+x+1,g(t)=t2+t+1
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)中,不放回地任意取兩個(gè)數(shù),每次取一個(gè)數(shù),則所取的兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上一點(diǎn).
(1)求證:平面EBD⊥平面SAC;
(2)設(shè)SA=4,AB=2,求點(diǎn)A到平面SBD的距離;
(3)設(shè)SA=4,AB=2,當(dāng)OE丄SC時(shí),求二面角E﹣BD﹣C余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0,且滿足 .
(1)求f(1)的值;
(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若f(2)=1,解不等式 .
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