Question

7．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：PF⊥FD
（2）若PA=1，求點(diǎn)A到平面PFD的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AF，通過(guò)計(jì)算利用勾股定理證明DF⊥AF，證明DF⊥PA，推出DF⊥平面PAF，然后證明DF⊥PF．
（2）通過(guò)V_A-PFD=V_P-AFD，轉(zhuǎn)化求解點(diǎn)A到平面PFD的距離即可．

解答 （1）證明：連接AF，則$AF=\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{2}$，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF，
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
又PF?平面PAF，
∴DF⊥PF．
（2）解：${V_{P-AFD}}=\frac{1}{3}{S_{△AFD}}•PA=\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$，
∵V_A-PFD=V_P-AFD，
∴${V_{A-PFD}}=\frac{1}{3}{S_{△PFD}}•h=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{6}}}{2}•h=\frac{1}{3}$，
解得$h=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即點(diǎn)A到平面PFD的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，點(diǎn)到平面的距離距離的求法，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．