Question

設函數f（x）=x^α-lnx，（參考數據：ln2=0.693，ln3=1.099）
（1）若α=2，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若不等式f（x）＞0恒成立，求α的取值范圍；
（3）證明：1

1

1

•2

1

4

•3

1

9

…n

1

n2

＜4（n∈N₊）

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=x^α-lnx，把α=2代入f（x），對其進行求導，利用導數研究函數f（x）的單調性；
（2）已知不等式f（x）＞0恒成立，將問題轉化為f（x）的最小值大于0即可，利用導數研究f（x）的最值問題，從而求解；
（3）可以利用數學歸納法進行證明，注意歸納法證明的步驟，要寫清楚；

解答：解：（1）∵函數f（x）=x^α-lnx，∵α=2，
∴f′（x）=2x-

1

x

=

2x2-1

x

（x≥0）
當f′（x）＞0時，x＞

2

2

，f（x）為增函數；
當f′（x）＜0時，0＜x＜

2

2

，f（x）為減函數；
∴函數f（x）的單調增區(qū)間：（

2

2

，+∞）；
函數f（x）的單調減區(qū)間：（0，

2

2

）；
（2）∵不等式f（x）＞0恒成立，
∴f（x）的最小值大于等于0，即可，
f′（x）=αx^α-1-

1

x

，
令f′（x）=0，可得x=

α	1 α

，是惟一的極值點，也是最小值點，
f（x）_min=f（

α	1 α

）=[(

1

α

)

1

α

]^α-ln(

1

α

)

1

α

=

1

α

-

1

α

ln

1

α

=

1

α

（1-ln

1

α

）＞0，
解得α＞

1

e

；
（3）用歸納法進行證明：
當n=1，可得1＜4成立；
假設當n=k時不等式成立，即1

1

1

•2

1

4

•3

1

9

…k

1

k2

＜4成立，
那么當n=k+1時，
有1

1

1

•2

1

4

•3

1

9

…k

1

k2

•(k+1)

1

(k+1)2

＜4×(k+1)

1

(k+1)2

，
∵n

1

n2

=

n2	n

，令f（x）=x

1

x2

，兩邊取對數：
lnf（x）=

1

x2

lnx，（x＞0），當x＞0時，x＞lnx
兩邊求導

f′(x)

f(x)

=

x-lnx

x4

，可得f′（x）=

x-lnx

x4

f（x）=

x-lnx

x4

•x

1

x2

＞0，
f（x）為增函數，當x→+∞，可有

x2	x

=1，
∴0＜n

1

n2

＜1，令n=k+1，
∴0＜(k+1)

1

(k+1)2

＜1，
∴4×(k+1)

1

(k+1)2

＜4，
∴n=k+1時不等式也成立；
∴1

1

1

•2

1

4

•3

1

9

…n

1

n2

＜4即證；

點評：此題考查利用導數研究函數的單調性，第一問是特殊條件，第二問是一般條件，第三問比較難，利用數學歸納法進行證明，會比較困難，考查的知識點比較多，是一道難題．