小張?jiān)谔詫毦W(wǎng)上開(kāi)一家商店,他以10元每條的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某品牌積壓圍巾2000條.定價(jià)前,小張先搜索了淘寶網(wǎng)上的其它網(wǎng)店,發(fā)現(xiàn):A商店以30元每條的價(jià)格銷(xiāo)售,平均每日銷(xiāo)售量為10條;B商店以25元每條的價(jià)格銷(xiāo)售,平均每日銷(xiāo)售量為20條.假定這種圍巾的銷(xiāo)售量t(條)是售價(jià)x(元)(x∈Z+)的一次函數(shù),且各個(gè)商店間的售價(jià)、銷(xiāo)售量等方面不會(huì)互相影響.
(1)試寫(xiě)出圍巾銷(xiāo)售每日的毛利潤(rùn)y(元)關(guān)于售價(jià)x(元)(x∈Z+)的函數(shù)關(guān)系式(不必寫(xiě)出定義域),并幫助小張定價(jià),使得每日的毛利潤(rùn)最高(每日的毛利潤(rùn)為每日賣(mài)出商品的進(jìn)貨價(jià)與銷(xiāo)售價(jià)之間的差價(jià));
(2)考慮到這批圍巾的管理、倉(cāng)儲(chǔ)等費(fèi)用為200元/天(只要圍巾沒(méi)有售完,均須支付200元/天,管理、倉(cāng)儲(chǔ)等費(fèi)用與圍巾數(shù)量無(wú)關(guān)),試問(wèn)小張應(yīng)該如何定價(jià),使這批圍巾的總利潤(rùn)最高(總利潤(rùn)=總毛利潤(rùn)-總管理、倉(cāng)儲(chǔ)等費(fèi)用)?
解:設(shè)t=kx+b,∴
,解得k=-2,b=70,∴t=70-2x.…1分
(1)y=(x-10)•t=(x-10)•(70-2x)=-2x
2+90x-700,…1分
∵
,∴圍巾定價(jià)為22元或23元時(shí),每日的利潤(rùn)最高.…2分
(2)設(shè)售價(jià)x(元)時(shí)總利潤(rùn)為z(元),
∴z=2000•(x-10)-200•
…1分
=2000•(25-((35-x)+
))≤2000•(25-
)=10000元.…1分
當(dāng)35-x=
時(shí),即x=25時(shí),取得等號(hào).…1分
∴小張的這批圍巾定價(jià)為25元時(shí),這批圍巾的總利潤(rùn)最高.…1分.
分析:(1)根據(jù)題意先求出銷(xiāo)售量t與售價(jià)x之間的關(guān)系式,再利用毛利潤(rùn)為每日賣(mài)出商品的進(jìn)貨價(jià)與銷(xiāo)售價(jià)之間的差價(jià),確定毛利潤(rùn)y(元)關(guān)于售價(jià)x(元)(x∈Z
+)的函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)求最值的方法可求;
(2)根據(jù)總利潤(rùn)=總毛利潤(rùn)-總管理、倉(cāng)儲(chǔ)等費(fèi)用,構(gòu)建函數(shù)關(guān)系,利用基本不等式可求最值.
點(diǎn)評(píng):本題以實(shí)際問(wèn)題為載體,考查二次函數(shù)模型的構(gòu)建,考查配方法求最值及基本不等式求最值,關(guān)鍵是函數(shù)式的構(gòu)建.