Question

8．如圖直角梯形ABCD中，|AB|=2，|DC|=1，|AD|=1，點P為梯形ABCD內(nèi)部（包括邊界）內(nèi)任一點，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BD}$的取值范圍為[-4，1]．

Answer 1

分析 可得出A，B，C，D四點坐標(biāo)，并設(shè)P（x，y），從而得出$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BD}$的坐標(biāo)，進(jìn)而求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}=-2x+y$，可設(shè)-2x+y=z，得到y(tǒng)=2x+z，z表示直線y=2x+z在y軸上的解決，x，y的變化范圍為矩形ABCD及其內(nèi)部，這樣根據(jù)線性規(guī)劃的知識即可求出z的最大、最小值，從而求出z的范圍，即得出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}$的取值范圍．

解答 解：由條件，A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），設(shè)P（x，y），則：
$\overrightarrow{AP}=（x，y），\overrightarrow{BD}=（-2，1）$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}=-2x+y$；
設(shè)-2x+y=z，則y=2x+z，z表示直線y=2x+z在y軸上的截距，如圖：
當(dāng)直線過D（0，1）時截距最大為1，經(jīng)過B（2，0）時截距最小為-4；
∴-4≤z≤1；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}$的取值范圍為[-4，1]．
故答案為：[-4，1]．

點評 考查利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，線性規(guī)劃的概念，以及利用線性規(guī)劃求變量范圍的方法．