已知定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),及定點(diǎn)F(1,0),定直線(xiàn)l:x=4,不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離是它到定直線(xiàn)l的距離的
12
倍,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E,點(diǎn)C是軌跡E上的任一點(diǎn),直線(xiàn)AC與BC分別交直線(xiàn)l與點(diǎn)P,Q.
(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(2)試判斷以線(xiàn)段PQ為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F,并說(shuō)明理由.
分析:(1)由橢圓的第二定義即可知道點(diǎn)M的軌跡E為橢圓;
(2)設(shè)出橢圓上的點(diǎn)C的坐標(biāo),進(jìn)而寫(xiě)出直線(xiàn)AC、BC的方程,分別求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo),只要判斷kPF•kQF=-1是否成立即可.
解答:解:(1)由橢圓的第二定義可知:
點(diǎn)M的軌跡E是以定點(diǎn)F(1,0)為焦點(diǎn),離心率e=
1
2
,直線(xiàn)l:x=4為準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓(除去與x軸相交的兩點(diǎn)).
∴c=1,
c
a
=
1
2
,∴a=2,b2=22-12=3,
∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓E,其方程為
x2
4
+
y2
3
=1
(除去(±2,0)).
(2)以線(xiàn)段PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F.下面給出證明:
如圖所示:設(shè)C(x0,y0),(x0≠±2),則直線(xiàn)AC的方程為:y=
y0
x0+2
(x+2)
,
令x=4,則yP=
6y0
x0+2
,∴P(4,
6y0
x0+2
)
,∴kPF=
6y0
x0+2
4-1
=
2y0
x0+2

直線(xiàn)BC的方程為:y=
y0
x0-2
(x-2)
,令x=4,則yQ=
2y0
x0-2
,∴Q(4,
2y0
x0-2
)
,∴kQF=
2y0
x0-2
4-1
=
2y0
3(x0-2)

∴kPF•kQF=
2y0
x0+2
×
2y0
3(x0-2)
=
4y02
3(x02-4)

∵點(diǎn)C(x0,y0)在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
上,∴
x02
4
+
y02
3
=1
,∴
4y02
3(x02-4)
=-1,
∴kPF•kQF=-1.
因此以線(xiàn)段PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握橢圓的定義、直線(xiàn)垂直與斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
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(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(2)直線(xiàn)y=
3
x+1與曲線(xiàn)E交于M,N兩點(diǎn),試問(wèn)在曲線(xiàn)E位于第二象限部分上是否存在一點(diǎn)C,使
OM
+
ON
OC
共線(xiàn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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AP
+2
BP
=
0
,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

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1
4
,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C.
(I)求曲線(xiàn)C的方程;
(II )過(guò)定點(diǎn)T(-1,0)的動(dòng)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于P,Q兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn)S(s,0),使得
SP
SQ
為定值,若存在求出s的值;若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

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1
4
,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C.
(I)求曲線(xiàn)C的方程;
(II)過(guò)定點(diǎn)T(-1,0)的動(dòng)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于P,Q兩點(diǎn),若S(-
17
8
,0),證明:
SP
SQ
為定值.

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