Question

已知f（x）是偶函數(shù)，且在（-∞，0）上遞減，若x∈[

1

2

，1]時(shí)，f（ax+1）≤f（x+2）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[-4，2]
• B、（-∞，2]
• C、[-4，+∞）
• D、[-4，-2]

Answer 1

分析：先利用偶函數(shù)的定義把f（ax+1）≤f（x+2）?f（|ax+1|）≤f（|x+2|），再利用其單調(diào)性轉(zhuǎn)化為|ax+1|≤|x+2|；對(duì)其兩邊平方整理后利用分類討論的方法分別求出實(shí)數(shù)a的取值范圍最后綜合即可．

解答：解：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，故有f（x）=f（-x）=f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x+2）在 x∈[

1

2

，1]上恒成立?f（|ax+1|）≤f（|x+2|）在 x∈[

1

2

，1]上恒成立 ①；
又因?yàn)樵赱0，+∞）上是增函數(shù)，
故①式轉(zhuǎn)化為|ax+1|≤|x+2|在 x∈[

1

2

，1]上恒成立?（a²-1）x²+2（a-2）x-3≤0  ②；
在 x∈[

1

2

，1]上恒成立．
a=1時(shí)，②轉(zhuǎn)化為-2x-3≤0?x≥-

3

2

成立；
a=-1時(shí)，②轉(zhuǎn)化為2x+1≥0?x≥-

1

2

成立；
|a|＞1時(shí)，得a²-1＞0，②轉(zhuǎn)化為

(a2-1)×( 1 2 )2+2(a-2)× 1 2 -3≤0  (a2-1)×1+2(a-2)×1-3≤ 0

，
?-4≤a≤2（a≠±1）．
綜上得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-4，2]．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性．在偶函數(shù)的定義應(yīng)用中，因?yàn)槠湓陉P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，所以在作題過程中，一般是利用f（x）=f（-x）=f（|x|）把變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)．